z niewiadomą \( z\in \mathbb{C}. \)
Do rozwiązania zastosujemy postać algebraiczną liczby \( z \).

Niech zatem \( z=x+iy \), gdzie \( x,y\in\mathbb{R} \). Otrzymujemy:

Stąd:

Porównując części rzeczywiste i urojone prawej i lewej strony równania otrzymujemy układ równań:

którego rozwiązaniem jest

Do rozwiązania zastosujemy wzory na pierwiastki równania kwadratowego.
Mamy:

skąd \( \sqrt{\Delta}=\sqrt{4i^{2}}=2i \) lub \( \sqrt{\Delta}=-2i. \)

Do obliczenia rozwiązań równania wystarczy użyć jednego z wyliczonych powyżej pierwiastków z \( \Delta \), w tym przypadku przyjmiemy \( \sqrt{\Delta}=2i \). Mamy zatem:

oraz

Na podstawie definicji pierwiastków zespolonych wnioskujemy, że zbiór rozwiązań równania pokrywa się ze zbiorem pierwiastków stopnia \( 4 \) z liczby \( (1-i)^{4} \). Zatem \( z_{0},z_{1},z_{2},z_{3} \) są rozwiązaniami wyjściowego równania wtedy i tylko wtedy, gdy \( z_{0},z_{1},z_{2},z_{3}\in \{ \sqrt[4]{(1-i)^{4}} \}. \)

Łatwo stwierdzamy, że jedną z takich liczb jest \( 1-i \). Przyjmijmy wobec tego

Pozostałe rozwiązania obliczymy wykorzystując \( z_{0} \). Mamy:

Ostatecznie więc zbiorem rozwiązań równania jest

Rozwiążemy równanie

Do rozwiązania zastosujemy postać wykładniczą liczby \( z \).
Zauważmy najpierw, że liczba \( z=0 \) spełnia równanie \( \overline{z}^{4}=z^{2}|z^{2}| \). Niech teraz \( z=re^{i\varphi} \), gdzie \( r>0 \), \( \varphi\in [0,2\pi). \)
Wówczas \( \overline{z}=re^{-i\varphi} \), skąd \( \overline{z}^{4}=r^{4}e^{-4i\varphi} \).
Po prawej stronie równania mamy tymczasem \( z^{2}=r^{2}e^{2i\varphi} \) oraz \( |z^{2}|=r^{2} \).
Porównując prawą i lewą stronę równania otrzymujemy

Rozwiązaniami równania są zatem liczby leżące na półprostych o początku w punkcie \( 0 \), nachylonych do osi rzeczywistej pod kątem \( 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \).